Question

（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC=,对角线AC、BD相交于点0，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.

（1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF为平形四边形；

（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数.

 

Answer 1

证明:(1)如图1,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,即AF∥BE.  ……1分

当旋转角为90⁰时,AC⊥EF,又AB⊥AC, ∴AB∥EF.       …………………………2分

∴四边形ABEF是平行四边形.                       …………………………3分

(2)在旋转过程中, 当EF⊥BD时,四边形BEDF可以是菱形.理由如下:   ……4分

如图2,∵四边形ABCD是平行四边形,由平行四边形的中心对称性可得:OF=OE,OB=OD,

 ∴四边形BEDF是平行四边形.又EF⊥BD, ∴四边形BEDF是菱形.   ……………6分

在Rt△ABC中,由勾股定理可得:AC=,∴OA=.

 

∴OA=AB=1,又∠BAC=90⁰,即△ABO为等腰直角三角形, ∴∠AOB=45⁰.     ………8分

∵EF⊥BD, ∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=90⁰, ∴∠AOF=45⁰.

即:当AC绕点O顺时针旋转45⁰时,四边形BEDF是菱形.  …………………………9分

解析:略