Question

如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A-B-C-D-A滑动到A为止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B-C-D-A-B滑动到B为止，M为QR的中点，在这个过程中，线段BM的长为    ，点M所经过的路线围成的图形的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出BM=QR，代入求出即可；点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积，求出即可．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵M为直角三角形QBR的中点，
∴BM=QR=×2=1；
根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，
可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，
即点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，
点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
∵正方形ABCD的面积为2×2=4，4个扇形的面积为4×=π，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4-π，
故答案为：1，4-π．
点评：本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线性质，扇形的面积的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．