Question

如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于      ．

Answer 1

1:3

分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1: 
，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
解答：解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，
=，
∴△DEF是正三角形，
∴BD：DF=1：①，
BD：AB=1：3②，
△DEF∽△ABC，
①÷②，
=，
∴DF：AB=1：，
∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．