Question

【题目】定义：点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离．例如，如图1，正方形满足，，，，那么点到正方形的距离为．

（1）如果点到抛物线的距离为，请直接写出的值________．

（2）求点到直线的距离．

（3）如果点在直线上运动，并且到直线的距离为，求的坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=-3；（2）到直线的距离为；（3）(2, 6-)或

(2, 6+)

【解析】

（1）作草图可知，当G在原点下方时，b=-3；

（2）过点M作直线y=x+3的垂线，与直线y=x+3相交于点H，则线段MH的长即为点M到直线y=x+3的距离.由等腰直角三角形MH=ME求解即可；

（3）分N 在直线y=x+4的上方和下方求解即可.

解：（1）由图可知线段GO长即为点G到抛物线的距离，故GO=3，所以b=-3

（2）如图，直线y=x+3与x，y轴分别交于点E(-3，0)，F(0，3)，直线y=x+3与x轴所成的角为45°，过点M作MH⊥EF，交EF与H，线段MH的长度即为点M到直线y=x+3的距离，且易知H点与F点重合.

∵为等腰直角三角形，

∴EM=FM ，

又∵EF=3-(-3)=6，

∴MF=EM=×6=3

∴MH=3

即点到直线的距离为；

（3）如图

K为直线x=2与x轴的交点，故K(2,0),F为直线x=2和直线y=x+4的交点，故F(2,6)

①当点N在直线y=x+4的下方N1处时，过点N1作N1S垂直直线y=x+4，

∵点到直线的距离为，

∴SN1=4,

点E是直线y=x+4与x轴的交点，

∴E(-4,0),且∠FEK=45°,

∴为等腰直角三角形

∴EK=FK=2-(-4)=6,

F N1=N1S=,

∴KN1=FK- F N1=6-,

∴N1(2, 6-)

②当点N在直线y=x+4的上方N2处时，过点N2作N2T垂直直线y=x+4，

同理可得：N2T=4，N2F= N2T=,

∴N2K=KF+FN2=6+,

∴N2(2, 6+)

故点在直线上运动，并且到直线的距离为，的坐标为(2, 6-)或

(2, 6+).