Question

已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E,交BC于点D．

（1）求证：直线AB是⊙E的切线；

（2）设直线AB和⊙E的公共点为G，AC=8，EF=5，连接EG，求⊙E的半径r．

Answer 1

解：（1）过点E作EG⊥AB于点G，连接EA；

∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，

∴∠FEA=∠FAE．

∴∠FAE=∠EAC．

∴AE为角平分线．

∴EG=EC．

∴直线AB是⊙E的切线．

（2）由（1）可知，直线AB与⊙O的公共点G为切点，

　 　∴EG=r，EG⊥AB．

　 　∵∠ACB=90°，EC长为半径，

∴AC是⊙E的切线．

∴AG=AC=8．

∵EF=AF，EF=5，

∴AF=5．

∴FG=AG-AF=8-5=3，

在Rt△EFG中，根据勾股定理，得：

,

∴⊙E的半径r=4．