Question

（2012•昌平区二模）类比学习：
有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，设△ADF、△CEF和△BDE的面积分别为S₁、S₂、S₃，
则S1=

1

2

x(1-y)sin60°，
S2=

1

2

y(1-z)sin60°，
S3=

1

2

z(1-x)sin60°．
由 S₁+S₂+S₃＜S_△ABC，得 

1

2

x(1-y)sin60°+

1

2

y(1-z)sin60°+

1

2

z(1-x)sin60°＜

3

4

．
所以 x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
类比实践：
已知正数a、b、c、d，x、y、z、t满足a+x=b+y=c+z=d+t=k．
求证：ay+bz+ct+dx＜2k²．

Answer 1

分析：首先作出边长为k的正方形ABCD，并分别在各边上截取：AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，则BE=x，AH=y，DG=z，CF=t，利用图形面积求出

1

2

ay+

1

2

dx+

1

2

ct+

1

2

bz＜k²，进而得出答案即可．

解答：证明：如图，作边长为k的正方形ABCD．
并分别在各边上截取：
AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，
∵a+x=b+y=c+z=d+t=k，
∴BE=x，AH=y，DG=z，CF=t．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴S₁=

1

2

ay，S₂=

1

2

dx，S₃=

1

2

ct，S₄=

1

2

bz．
∵S₁+S₂+S₃+S₄＜S_{正方形ABCD}，
∴

1

2

ay+

1

2

dx+

1

2

ct+

1

2

bz＜k²．
∴ay+bz+ct+dx＜2k²．

点评：此题主要考查了正方形的性质，根据已知构造正方形进而表示出各三角形面积是解题关键．