Question

如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．

（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；

（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

                                                   

Answer 1

1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，

在△ABM和△BCP中，

，

∴△ABM≌△BCP（SAS），

∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，

∵∠BAM+∠AMB=90°，

∴∠CBP+∠AMB=90°，

∴AM⊥BP，

∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，

∴AM⊥MN，且AM=MN，

∴MN∥BP，

∴四边形BMNP是平行四边形；       --------4分

（2）解：BM=MC．                  -------1分

理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，

∴∠BAM=∠CMQ，

又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABM∽△MCQ，

∴=，

∵△MCQ∽△AMQ，

∴△AMQ∽△ABM，

∴=，

∴=，

∴BM=MC．