Question

二次函数的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₁在y轴的正半轴上，点 B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₁在二次函数位于第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁都为等边三角形，则△A₀B₁A₁的边长=________，△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长=________．

Answer 1

1    2011
分析：先计算出△A₀B₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长．
解答：解：作B₁A⊥y轴于A，B₂B⊥y轴于B，B₃C⊥y轴于C．
设等边△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等边△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°=a，代入解析式得×（a）²=a，解得a=0（舍去）或a=，于是等边△A₀B₁A₁的边长为×2=1；
②等边△A₁B₂A₂中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=b，B₂点坐标为（b，1+b）代入解析式得×（b）²=1+b，
解得b=-（舍去）或b=1，
于是等边△A₁B₂A₂的边长为1×2=2；
③等边△A₂B₃A₃中，A₂C=c，
所以CB₃=btan60°=c，B₃点坐标为（3c，3+c）代入解析式得×（c）²=3+c，
解得c=-1（舍去）或c=，
于是等边△A₂B₃A₃的边长为×2=3．
于是△A₂₀₁₀B₂₀₁₁A₂₀₁₁的边长为2011．
点评：本题考查的是二次函数综合题，此题将二次函数和等边三角形的性质结合在一起，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识．