Question

如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OA中点；

（1）求直线BC解析式；
（2）动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段OA向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段CB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作QM∥AB交x轴于点M，若线段PM的长为y，点P运动时间为t(s )，求y于t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，以PC为直径作⊙N，求t为何值时直线QM与⊙N相切.

Answer 1

(1) (2) (3)

解析试题分析：（1）∵y=x+6，
∴x=0时，y=6；y=0时，x=-8，
∴B（0，6），A（-8，0），
∵C为OA中点，∴C（-4，0），
设BC：y=kx+b，
∴-4k+b=0，b=6，
∴k=，∴y=x+6；
（2）∵QM∥AB，∴，
∴CM=t，∴-4-xM=t，∴xM=-4-t，
∵xP=-2t，
∴0＜t＜4＜时，PM=xP-xM=-2t-（-4-t）=-t+4，
∴y=-t+4（0＜t＜4）；
（3）过N点作NH⊥MQ交直线MQ于H点．
∵N为PC的中点，
∴xN=
∴MN=-2-t-（-4-t）=2，
∵MQ∥AB，∴∠QMC=∠BAO，
∴sin∠QMC=sin∠BAO=，∴NH=2×=，∵PC=|-2t+4|，
∴|-2t+4|=2×=，解得，t=或t=．综上，t=或t=时，直线QM与⊙N相切．
考点：圆的切线性质
点评：本题难度中等，主要考查一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、平行线分线段成比例定理及锐角三角函数的定义等知识．