Question

如图1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F

(1)如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝________°，猜想∠QFC＝________°；

(2)如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；

(3)已知线段AB＝，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)30°　1分 　　＝60°　2分 　　(2)＝60°　1分 　　不妨设BP＞，如图1所示 　　∵∠BAP＝∠BAE＋∠EAP＝60°＋∠EAP 　　∠EAQ＝∠QAP＋∠EAP＝60°＋∠EAP 　　∴∠BAP＝∠EAQ　2分 　　在△ABP和△AEQ中AB＝AE，∠BAP＝∠EAQ，AP＝AQ 　　∴△ABP≌△AEQ(SAS)　3分 　　∴∠AEQ＝∠ABP＝90°　4分 　　∴∠BEF 　　∴＝60°　5分 　　(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分) 　　(3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G∵△ABE是等边三角形 　　∴BE＝AB＝，由(1)得30°在Rt△BGF中， 　　∴BF＝ 　　∴EF＝2　1分 　　∵△ABP≌△AEQ 　　∴QE＝BP＝ 　　∴QF＝QE＋EF　2分 　　过点Q作QH⊥BC，垂足为H 　　在Rt△QHF中，(x＞0) 　　即y关于x的函数关系式是：　3分