题目内容
26、已知点P是正方形ABCD的对角线BD上任一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连PA、EF．猜想并证明线段PA与EF存在着什么关系．分析：可通过构建全等三角形来证得，根据正方形的性质我们不难得出两三角形全等的条件．（SAS）
解答：解：
延长EP交AD于M，EM⊥AD P在对角线上，PM=PF=MD=DF
∴AM=AD-MD=CD-DF=CF=EP，Rt△AMP≌Rt△EPF，
∴EF=AP．
由上可知，∠EFP=∠APM．
延长AP交EF于N，
则∵PF∥AD，
∴∠PAM=∠FPN
∴∠EFP+∠FPN=∠PAM+∠APM=90°
∴△FNP是Rt△，∠FNP=90°
∴FN⊥AN，即EF⊥AP．
∴线段PA与EF相等且互相垂直．
延长EP交AD于M，EM⊥AD P在对角线上，PM=PF=MD=DF∴AM=AD-MD=CD-DF=CF=EP，Rt△AMP≌Rt△EPF，
∴EF=AP．
由上可知，∠EFP=∠APM．
延长AP交EF于N，
则∵PF∥AD，
∴∠PAM=∠FPN
∴∠EFP+∠FPN=∠PAM+∠APM=90°
∴△FNP是Rt△，∠FNP=90°
∴FN⊥AN，即EF⊥AP．
∴线段PA与EF相等且互相垂直．
点评：本题主要考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形的判定，利用全等三角形来证线段相等是常用的方法．
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