Question

如图：在RT△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
（1）点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC、BC的方向匀速运动，当点P到达点C则停止运动，它们的速度都是每秒1cm．求几秒后△PCQ的面积等于△ABC面积的一半？
（2）点P由A出发，沿AC方向匀速运动，当点P到达点C则停止运动，点Q同时由C出发，沿CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm．求几秒后△PCQ的面积等于△ABC面积的

1

6

？

Answer 1

分析：（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=（8-x）cm，此时△PCQ的面积为：

1

2

×（8-x）（6-x），令该式=12，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）△ABC的面积等于△ABC面积的

1

6

，即

1

2

•（6-x）•x=4，进而求出答案即可．

解答：解：（1）设运动x秒后．由题意得：
S_△ABC=

1

2

×AC•BC=

1

2

×6×8=24，
即：

1

2

×（8-x）×（6-x）=

1

2

×24，
x²-14x+24=0，
（x-2）（x-12）=0，
x₁=12（舍去），x₂=2；
所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．

（2）设xs后，△PCQ的面积等于△ABC面积的

1

6

，即使△PCQ的面积为24×

1

6

=4cm²，
由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=xcm，
则

1

2

•（6-x）•x=4．
整理，得x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为4cm²，即△PCQ的面积等于△ABC面积的

1

6

．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解．