Question

如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）求证：∠BOD=∠COE．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可；
（2）先根据三角形内角与外角的关系求出∠BOD与∠BCO的关系，再根据OE⊥BC解答即可．

解答：（1）解：∵AD、BM、CN分别是△ABC的三个内角的角平分线，
∴∠ABO=

1

2

∠ABC，∠BCO=

1

2

∠ACB，∠CAO=

1

2

∠CAB．
又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO=

1

2

（∠ABC+∠ACB+∠CAB）=

1

2

×180°=90°；

（2）证明：∵∠BOD=∠BAO+∠ABO，∠BAO=∠CAO，
∴∠BOD=∠CAO+∠ABO=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠ACB）=90°-

1

2

∠ACB=90°-∠BCO．
又∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠COE=90°-∠ECO．
∴∠BOD=∠COE．

点评：本题考查的知识点为三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质，有一定的综合性但难度适中．