Question

已知AB是两个同心圆中大圆的弦，也是小圆的切线，设AB=a，用a表示这两个同心圆中圆环的面积为（ ）
A．πa²
B．πa²
C．πa²
D．πa²

Answer 1

【答案】分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，连接OC，OA，由大圆的弦与小圆相切，利用切线的性质得到OC与AB垂直，再根据垂径定理，由垂直得到C为AB的中点，根据AB=a表示出AC的长，可设大圆的半径为R，小圆的半径为r，在直角三角形AOC中，根据勾股定理求出R²-r²的值，然后由大圆的面积减去小圆的面积表示出圆环的面积，将求出R²-r²的值代入即可求出圆环的面积．
解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

连接OA，OC，
∵大圆的弦AB切小圆于C点，
∴OC⊥AB，又AB=a，
∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=a，
设大圆的半径为R，小圆的半径为r，
在直角三角形AOC中，OA=R，OC=r，
根据勾股定理得：OA²=AC²+OC²，即R²=r²+a²，
∴R²-r²=a²，
则两圆之间的圆环面积S=πR²-πr²=πa²．
故选A
点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，以及圆的面积公式，其中根据题意画出相应的图形，作出相应的辅助线是解本题的关键．