Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：连OA，由AC=AB，∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，并且AO⊥BC，则∠NAO=∠B=45°，根据全等三角形的判定得到△NAO≌△MBO，则 ON=OM，∠AON=∠BOM，又∠BOM+∠AOM=90°，得到∠AON+∠AOM=90°，于是可判断△OMN是等腰直角三角形．

解答：证明：△OMN为等腰直角三角形．理由如下：
连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，

AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO

，
∴△NAO≌△MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，并且它们的夹角也相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等、对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质与判定．