Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊥BC于M，BF为⊙O的直径，下列结论：①DN=DH；②四边形AHCF为平行四边形；③BF=2FC；④AH=2OM，其中正确的有

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②④

Answer 1

D
分析：根据圆周角定理以及三角形的内角和定理可以证得∠NHC=∠N，然后根据三线合一定理即可判断①；
根据AD⊥BC，以及直径所对的圆周角是直角，即可证得∠BCF=90°，则AH∥CF，然后根据等弧所对的圆周角相等，平行线的判定定理证明AF∥CH，即可证得四边形AHCF；
易证OM是△BCF的中位线，根据中位线定理．以及平行四边形的对边相等，即可判断④的正误．
解答：解：连接CN．
∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEH=∠NDC=90°，
又∵∠EAH=∠DCN
∴∠AHE=∠N
∵∠NHC=∠AHE
∴∠NHC=∠N，
∴NC=CH
又∵BC⊥NH
∴DN=DH，故①正确；
∵BF是圆的直径，
∴∠BCF=90°，
又∵AD⊥BC
∴AD∥CF，
∴=，
∴=，
∴∠FAD=∠N
∴∠FAD=∠NHC
∴AF∥CH，
∴四边形AHCF为平行四边形．故②是正确的；
∵OM⊥BC于M，∠BCF=90°，
∴OM∥CF，
又∵OB=OF，
∴OM是△BCF的中位线，
∴FC=2OM，
∵平行四边形AHCF中，AH=FC，
∴AH=2OM，故④正确；
当BF=2FC时，∠FBC=30°，题目中没有已知条件，故③是错误的．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理，三角形的中位线定理，以及平行四边形的判定方法，正确证得四边形AHCF为平行四边形是关键．