Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，OC=4。
（1）直接填空：c=_______；
（2）点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4。
①若线段BQ的中点为M，如图1，连结CM，求证：CM⊥BQ；
②如图2，点P是y轴上一个动点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）4；
（2）①连结CQ、BC， 由（1）得：c=4，则抛物线的解析式是 ∵点Q在抛物线上，且横坐标为-4， ∴当x=-4时，y=6， ∴点Q坐标为（-4，6） 连结QC、BC，作QT⊥y轴于点T，如图， 令y=0，则，解得：或，则OB=2 在Rt△BOC中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ∴，即△BCQ是等腰三角形， 又点M为线段BQ的中点， ∴CM⊥BQ； ②存在，理由如下： 设P的坐标为（0，n），在△BPQ中， 若，由勾股定理得：， ∴，解得n=10， 此时点的坐标为P1（0，10）， 若，由勾股定理得：， ∴，解得， 此时点P的坐标为， 若，由勾股定理得：， ∴，解得， 此时点P的坐标为或 综上，存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形，点P的坐标为：、、或。