题目内容

已知
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
=0，求证：
a
(b-c)2
+
b
(c-a)2
+
c
(a-b)2
=0．
分析：由已知
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
=0，得出（
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
）（
1
b-c
 +
1
c-a
+
1
a-b
）等于
a
(b-a)2
+
b
(c-a)2
 +
c
(a-b)2
从而证明原命题正确．
解答：证明：∵（
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
）（
1
b-c
 +
1
c-a
+
1
a-b
）
=
a
(b-c) 2
+
b
(c-a) 2
+
c
(a-b) 2
+
a+b
(b-c)(c-a)
+
a+c
(b-c)(a-b)
+
b+c
(c-a)(a-b)
，
=
a
(b-a)2
+
b
(c-a)2
 +
c
(a-b)2
+
a2-b2+b2-c2+c2-  a2
(b-c)(c-a)(a-b)
，
：∵（
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
）（
1
b-c
 +
1
c-a
+
1
a-b
），
=
a
(b-a)2
+
b
(c-a)2
 +
c
(a-b)2
，
∵
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
=0，
∴（
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
）（
1
b-c
 +
1
c-a
+
1
a-b
），
=（
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
）（
1
b-c
 +
1
c-a
+
1
a-b
），
=0，
故
a
(b-c)2
+
b
(c-a)2
+
c
(a-b)2
=0正确．
点评：此题主要考查了分式的运算变形，得出（
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
）（
1
b-c
 +
1
c-a
+
1
a-b
）=
a
(b-a)2
+
b
(c-a)2
 +
c
(a-b)2
，是解决问题的关键．
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