Question

如图已知△ABC是等边三角形，BD是高，延长BC到E，使CE=CD，过D作DF⊥BE于F，
求证：（1）BD=DE
（2）F为线段BE的中点．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可得BD平分∠ABC，求出∠CBD=30°，再根据CE=CD，利用等边对等角以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出
∠E=30°，然后根据等角对等边的性质即可证明；
（2）利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=

1

2

∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
又∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴BD=DE；

（2）根据（1）的结论，BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BE，
∴BF=EF（等腰三角形三线合一），
即F为线段BE的中点．

点评：本题主要考查了等边三角形三个角都是60°的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及等边对等角，等角对等边的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．