Question

观察下列式子

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…根据上述规律计算：

a

1×2

+

a

2×3

+

a

3×4

+…+

a

2010×2011

，并求出当a=2011时，上式的值．

Answer 1

分析：先由已知等式，得出规律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，再将所求式子提取公因式a，变形为a（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

），然后利用得出的规律，化简括号内的式子，最后将a=2011代入，计算即可求解．

解答：解：∵当n=1时，

1

1×2

=1-

1

2

，
当n=2时，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，
当n=3时，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…
∴当n=n时，

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴

a

1×2

+

a

2×3

+

a

3×4

+…+

a

2010×2011

=a（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

）
=a（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

）
=a（1-

1

2011

）
=

2010

2011

a，
当a=2011时，原式=

2010

2011

×2011=2010．

点评：此题主要考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，解题时首先观察，分析归纳出题目中隐含的规律，然后利用规律把题目变形，从而使计算变得比较简便．