Question

如图，CD切⊙O于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足，已知⊙O的半径为15，sin∠COD=

3

2

．
求：（1）弦AB的长；
（2）CD的长；
（3）线段DE、线段BE与弧DB围成的面积．

Answer 1

分析：（1）sin∠COD=

3

2

，可得∠COD=60°，由弦AB⊥OD，根据三角函数的性质与垂径定理，即可求得弦AB的长；
（2）由CD切⊙O于点D，可得OD⊥CD，继而求得CD的长；
（3）由S=S_扇形BOD-S_△BOE，即可求得答案．

解答：解：（1）∵sin∠COD=

3

2

，
∴∠COD=60°，
∵弦AB⊥OD，⊙O的半径为15，
∴AE=BE=OB•sin60°=15×

3

2

=

15

2

3

，
∴AB=AE+BE=15

3

；

（2）∵CD切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
在Rt△OCD中，OD=15，∠COD=60°，
∴CD=OD•tan60°=15×

3

=15

3

；

（3）在Rt△OBE中，OE=OB•cos60°=15×

1

2

=

15

2

，
S=S_扇形BOD-S_△BOE=

60

360

×π×15²-

1

2

×

15

2

×

15

2

3

=25π-

225

8

3

．

点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．