Question

【题目】数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，？

经过研究，这个问题的一般性结论是，其中为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：？

观察下面三个特殊的等式：

将这三个等式的两边相加，可以得到．

读完这段材料，请你计算：

（1）________；（直接写出结果）

（2）；（写出计算过程）

（3）________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据三个特殊等式相加的结果，代入熟记进行计算即可求解；
（2）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解；
（3）根据（2）的求解规律，利用特殊等式的计算方法，先把每一个算式分解成两个算式的运算形式，整理即可得解．

解：（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=×100×101×102=343400；
（2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）=（1×2×3-0×1×2），
2×3=x（2×3×4-1×2×3）=（2×3×4-1×2×3），
3×4=n（3×4×5-2×3×4）=（3×4×5-2×3×4），
…
n（n+1）= [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）= [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=n（n+1）（n+2）；

（3）根据（2）的计算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）=（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）=（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）= [n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：（1）343400；（2）n（n+1）（n+2）；（3）n（n+1）（n+2）（n+3）．