题目内容
如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA=3，PB=4，PC=5，∠BQC=
150°
150°
．（请直接写出∠BQC的度数）分析：（1）根据“SAS”证明△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；
（2）连接PQ．证明△PBQ为等边三角形，得∠PQB=60°；根据三边长度可证△PQC为直角三角形，得∠PQC=90°．
（2）连接PQ．证明△PBQ为等边三角形，得∠PQB=60°；根据三边长度可证△PQC为直角三角形，得∠PQC=90°．
解答：
解：（1）AP=CQ，理由如下：…（1分）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°．
∵∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ，（SAS）
∴AP=CQ．…（5分）
（2）连接PQ．
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴∠PQB=60°，PQ=PB=4．
又∵CQ=PA=3，PC=5，且52=32+42，即PC2=PQ2+CQ2，
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°．
∴∠BQC=60°+90°=150°．
故答案是 150°．…（8分）
解：（1）AP=CQ，理由如下：…（1分）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°．
∵∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．
在△ABP和△CBQ中，
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∴△ABP≌△CBQ，（SAS）
∴AP=CQ．…（5分）
（2）连接PQ．
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴∠PQB=60°，PQ=PB=4．
又∵CQ=PA=3，PC=5，且52=32+42，即PC2=PQ2+CQ2，
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°．
∴∠BQC=60°+90°=150°．
故答案是 150°．…（8分）
点评：此题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质及直角三角形的判定，难度中等．
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