Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0，8），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0<t≤8)秒后，直线PQ交OB于点D。

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）当a=3，OD=时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以说明.

Answer 1

（1）∠AOB=30°，OA=8；
（2）；
（3）当a=3时，CP=t， OQ=3t，OD=，∴PB=8-t，BD=8
     由△OQD∽△BPD得，即，∴t=。
      当t=时，OQ=，同理可求Q().   
    设直线PQ的解析式为y=kx+b，则 ∴
    ∴直线PQ的解析式为；
（4）当a=1时，△ODQ∽△OBA，当1<a<3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似，
        当a=3时，△ODQ∽△OAB 理由如下：
① 若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此时PQ//AB，
       故四边形PCOQ为平行四边形，∴CP=OQ. 即at=t (0<t≤8)，
         ∴ a=1，故当a=1时，△ODQ∽△OBA，
②若△ODQ∽△OAB.
（Ⅰ）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD.        
∴   ∴即 ∴OD=
 ∵△ODQ∽△OAB，∴，即
  ∴，∵，∴此时a>3，不符合题意.
∴即时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；
 (Ⅱ)当P与B重合时，此时D点也与B点重合.
       可知此时，t=8，由△ODQ∽△OAB得 
      ∴OB²=OA·OQ，即（8）²=8×8a，
       ∴a=3，符合题意. 故当a=3时，△ODQ∽△OAB。