Question

（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

1

3

x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=-

1

2

x²+bx+c的图象过点E（-1，0），并与直线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OPA）比例线段之间的关系，求出线段OC的长度，从而得到C点的坐标，如题图所示；
（3）存在所求的M点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏．求点M坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系．

解答：解：（1）直线解析式为y=-

1

3

x+2，令x=0，则y=2，
∴A（0，2），
∵抛物线y=-

1

2

x²+bx+c的图象过点A（0，2），E（-1，0），
∴

2=c 0=- 1 2 -b+c

，
解得

b= 3 2 c=2

．
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）∵直线y=-

1

3

x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，
∴P（6，0），A（0，2），
∴OP=6，OA=2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴

OC

OA

=

OA

OP

，
∴OC=

OA2

OP

=

22

6

=

2

3

，
又C点在x轴负半轴上，
∴点C的坐标为C（-

2

3

，0）．

（3）抛物线y=-

1

2

x²+

3

2

x+2与直线y=-

1

3

x+2交于A、B两点，
令-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

3

x+2，
解得x₁=0，x₂=

11

3

，
∴B（

11

3

，

7

9

）．
如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，
则D（

11

3

，0），BD=

7

9

，DP=6-

11

3

=

7

3

．
点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：
①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．
设M（m，0），则MD=

11

3

-m．
∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴

MD

BD

=

BD

DP

，
即

11 3 -m

7 9

=

7 9

7 3

，
解得m=

92

27

，
∴此时M点坐标为（

92

27

，0）；
②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．
设M（m，0），则MD=

11

3

-m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，
∴

OM

BD

=

OA

MD

，即

m

7 9

=

2

11 3 -m

，
化简得：m²-

11

3

m+

14

9

=0，
解得：m₁=

11+ 65

6

，m₂=

11- 65

6

，
∴此时M点坐标为（

11+ 65

6

，0），（

11- 65

6

，0）；
（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）
③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．
此时M点坐标为（0，

7

9

）；
④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．
设M′（0，m），则AM=2-

7

9

=

11

9

，BM=

11

3

，MM′=

7

9

-m．
易知Rt△ABM∽Rt△BM′M，
∴

AM

BM

=

BM

MM′

，即

11 9

11 3

=

11 3

7 9 -m

，
解得m=-

92

9

，
∴此时M点坐标为（0，-

92

9

）．
综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．
符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（

92

27

，0）、（

11+ 65

6

，0）、（

11- 65

6

，0）、（0，

7

9

）或（0，-

92

9

）．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点．难点在于第（3）问，所求的M点有5个（x轴上有3个，y轴上有2个），需要分情况讨论，不要遗漏．