Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y=

k

x

的图象经过带你M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；
（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y=

k

x

的图象上，试求出N点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y=2代入即可求出M的坐标．
（2）把M的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把x=4代入直线的解析式即可求出N的坐标．
（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．
（4）求出直角三角形MBN的斜边上的高BL，根据相似求出LN，即可求出N的坐标．

解答：解：（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，
把D、E的坐标代入得：

3=b 0=6k+b

，
解得：k=-

1

2

，b=3，
∴直线DE的解析式是：y=-

1

2

x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y=2代入y=-

1

2

x+3得：x=2，
∴M的坐标是（2，2）．

（2）把M（2，2）代入y=

k

x

得：k=4，
即反比例函数的解析式是y=

4

x

，
∵B（4，2），
∴把x=4代入y=-

1

2

x+3得：y=1，
∴N的坐标是（4，1），
把N的坐标代入y=

4

x

得：左边=4，右边=4，左边=右边，
即点N在反比例函数的图象上．

（3）把B（4，2）代入y=

k

x

得：k=8，
∵反比例函数y=

4

x

过M、N点，
∴若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．

（4）过B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM=4-2=2，BN=2-1=1，
由勾股定理得：NM=

22+12

=

5

，
S_△MNB=

1

2

BM×BN=

1

2

MN×BL，
∴2×1=

5

×BL，
∴BL=

2 5

5

，
如图所示：

∵直角顶点B在反比例函数图象上，
∴B的纵坐标是

2 5

5

，代入y=

4

x

得：横坐标是2

5

，
∴OL=2

5

，
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴

LN

BN

=

BL

MB

，
∴

LN

1

=

2 5 5

2

，
∴LN=

5

5

，
∴ON=OL+LN=2

5

+

5

5

=

11 5

5

，
∴N的坐标是（

11 5

5

，0）．

点评：本题考查了用待定系数法求一次和和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．