题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，线段AB上一动点D，以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动．过点D作DE⊥AB，交折线AC﹣CB于点E，以DE为一边，在DE左侧作正方形DEFG．设运动时间为x（s）（0＜x＜4）．正方形DEFG与△ABC重叠部分面积为y（cm2）．
（1）当x=s时，点F在AC上；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设正方形DEFG的中心为点O，直接写出运动过程中，直线BO平分△ABC面积时，自变量x的取值范围．
【答案】
（1）
（2）解：①如图2中，当0＜x≤2时，重叠部分是△ADE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠AED=45°，
∴AD=DE=x，
∴y=S△ADE= 
x2，
②如图3中，当2＜x≤ 时，重叠部分是五边形MNEDG．
易知FG=GD=DE=DB=4﹣x，MG=AG=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，
∴FM=FG﹣MG=（4﹣x）﹣（2x﹣4）=8﹣3x=FN，
∴y=S正方形DEFG﹣S△FMN=（4﹣x）2﹣ （8﹣3x）2=﹣ 
x2+16x﹣16，
③当 ＜x＜4时，重叠部分是正方形DEFG，
y=（4﹣x）2=x2﹣8x+16．
综上所述，y= 
（3）解：如图5中，当2≤x＜4时，延长BO交AC于M．
∵OE=OG，EG∥AC，
∴ 
= 
= 
，
∴CM=AM，
∴直线OB平分△ABC的面积．
∴当2≤x＜4时，直线OB平分△ABC的面积
【解析】解：（1）如图1中，当点F在AB上时，易证AG=GE=DG=DB= 
，
∴运动时间x= 
= ，
所以答案是 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
