Question

（2012•房山区一模）已知：关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），设y=x₂-x₁，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△=（4k+1）²-4k（3k+3），配方得△=（2k-1）²，而k是整数，则2k-1≠0，得到△=（2k-1）²＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；
（2）先根据求根公式求出一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0 的解为x=3或x=1+

1

k

，而k是整数，x₁＜x₂，则有x₁=1+

1

k

，x₂=3，于是得到y=3-（1+

1

k

）=2-

1

k

．

解答：（1）证明：k≠0，
△=（4k+1）²-4k（3k+3）
=（2k-1）²，
∵k是整数，
∴k≠

1

2

，2k-1≠0，
∴△=（2k-1）²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：y是k的函数．
解方程得，x=

(4k+1)± (2k-1)2

2k

=

4k+1±(2k-1)

2k

，
∴x=3或x=1+

1

k

，
∵k是整数，
∴

1

k

≤1，
∴1+

1

k

≤2＜3．
又∵x₁＜x₂，
∴x₁=1+

1

k

，x₂=3，
∴y=3-（1+

1

k

）=2-

1

k

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了利用公式法解一元二次方程．