题目内容
（2010•淄博）如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=| 3 |
分析：此题的四个结论都需要构造直角三角形来求证，连接OD，若BC=R，那么OC=2OD，即∠C=30°，可据此对四个结论进行判断．
解答：
解：连接OD，则OD⊥CD；
①∵AD=DC，
∴∠A=∠C，
∴∠DOC=2∠A=2∠C；
在Rt△ODC中，∠C+∠DOC=90°，
即∠A=∠C=30°，
∴OC=2OD，OB+BC=2OD，由于OB=OD，故BC=OB=R，①正确；
②由①可知：当∠A=30°时，可以得到BC=R，故②正确；
③∠ADC=120°，则∠A=∠C=
（180°-∠ADC）=30°，
由①②知，当∠A=30°时，BC=R成立，故③正确；
④DC=
R，则tan∠C=
=
，即∠A=∠C=30°，
故④正确；
所以四个结论都能是BC=R成立，
故选D．
解：连接OD，则OD⊥CD；①∵AD=DC，
∴∠A=∠C，
∴∠DOC=2∠A=2∠C；
在Rt△ODC中，∠C+∠DOC=90°，
即∠A=∠C=30°，
∴OC=2OD，OB+BC=2OD，由于OB=OD，故BC=OB=R，①正确；
②由①可知：当∠A=30°时，可以得到BC=R，故②正确；
③∠ADC=120°，则∠A=∠C=
| 1 |
| 2 |
由①②知，当∠A=30°时，BC=R成立，故③正确；
④DC=
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| OD |
| CD |
| ||
| 3 |
故④正确；
所以四个结论都能是BC=R成立，
故选D．
点评：此题主要考查的是切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形的应用，难度不大．
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