Question

如图，已知△PDC是⊙O的内接三角形，CP=CD，若将△PCD绕点P顺时针旋转，当点C刚落在⊙O上的A处时，停止旋转，此时点D落在点B处．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）当PD=2

3

，∠DPC=30°时，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析：（1）连接OA、OP，由旋转可得：△PAB≌△PCD，再由全等三角形的性质可知AP=PC=DC，再根据∠BPA=∠DPC=∠D可得出∠BPO=90°，进而可知PB与⊙O相切；
（2）过点A作AE⊥PB，垂足为E，根据∠BPA=30°，PB=2

3

，△PAB是等腰三角形，可得出BE=EP=

3

，PA=2，PB与⊙O相切于点P可知∠APO=60°，故可知PA=2．

解答：（1）证明：连接OA、OP，OC，由旋转可得：△PAB≌△PCD，
∴PA=PC=DC，
∴AP=PC=DC，∠AOP=∠POC=2∠D，∠APO=∠OAP=

180°-2∠D

2

，
又∵∠BPA=∠DPC=∠D，
∴∠BPO=∠BPA+

180°-2∠D

2

=90°
∴PB与⊙O相切；

（2）解：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵∠BPA=30°，PB=2

3

，△PAB是等腰三角形；
∴BE=EP=

3

，（6分）
PA=

EP

cos30°

=

2 3

3

=2
又∵PB与⊙O相切于点P，
∴∠APO=60°，
∴OP=PA=2．

点评：本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及图形旋转的性质，能根据题意作出辅助线是解答此题的关键．