Question

【题目】已知：直线y=ax+b与抛物线的一个交点为（0，2），同时这条直线与x轴相交于点A，且相交所成的角为45°．

（1）点A的坐标为__________；

（2）若抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N左边），将此抛物线作关于y轴对称，M的对应点为E，两抛物线相交于点F，连接NF，EF得△NEF，P是轴对称后的抛物线上的点，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等，则P点坐标为_________.

Answer 1

【答案】（-2，0）或（2，0） （2，2）或（－1，-2）或（－-1，-2）

【解析】

（1）设（0，2）为点B，根据直线与y轴的交点坐标，以及与x轴的相交夹角角度，可知OB=OA=2，即可得点A的坐标；

（2）根据（1）的结论，代入直线解析式，求出a，b的值，再代入抛物线的解析式求c的值，根据抛物线与x轴有两个交点求出抛物线的解析式，根据题意作出关于y轴对称的图象，求出各个交点的坐标．设点P的坐标为（x，y），根据三角形的面积公式可知△NEP与△NEF的高相等，由此判断y的取值，将y代入抛物线的解析式即可求出点P的坐标．

解：（1）设直线与抛物线的交点（0，2）为点B，

则将点B代入直线y=ax+b，解得b=2，

且直线与x轴相交的夹角为45°，

则△AOB为等腰直角三角形，

∴OA=OB=2，

当a＞0，点A的坐标为（-2，0），

当a＜0，点A的坐标为（2，0），

∴点A的坐标为（-2，0）或（2，0）．

（2）当a＞0时，将A（-2，0），B（0，2）代入直线解析式得，解得，

又∵抛物线过点B（0，2），

∴ c=2，

∴抛物线的解析式为，

∵，

∴抛物线与x轴没有交点．

当a＜0时，将A（2，0），B（0，2）代入直线解析式得，解得，

又∵抛物线过点B（0，2），

∴ c=2，

∴抛物线的解析式为，

∵，

∴抛物线与x轴有两个交点，

∴抛物线的解析式为．

令y=0，得，解得，，

∵点M在点N左边，

∴点M的坐标为（，0），点N的坐标为（，0），

此抛物线作关于y轴对称，图象如下图所示，M的对应点为E，两抛物线相交于点F，即点F为点B，

∴点F的坐标为（0，2），点E的坐标为（，0），

∴NE=－（）=2，OF=2，

∴，

设使得△NEP的面积与△NEF的面积相等的P点坐标为（x，y），

由三角形面积公式可知，以NE为底，要使△NEP的面积与△NEF的面积相等，则高一样，

∴，即．

当时，代入，解得，，

∵（0，2）与点F重合，

∴点P的坐标为（﹣2，2）；

当时，代入，解得，，

∴点P的坐标为（，﹣2）或（，﹣2），

综上所述，满足条件的点P共有三个，其坐标分别为（﹣2，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．