Question

（1）已知x+

1

x

=2，求x2+

1

x2

的值；
（2）已知x+y=1，求

1

2

x2+xy+

1

2

y2的值；
（3）若a+b=5，ab=6，求：①a²+b²；②a⁴+b⁴的值．

Answer 1

分析：（1）把已知条件两边平方，然后根据完全平方公式展开整理即可得解；
（2）把所求代数式利用完全平方公式整理成已知条件的形式，然后代入数据进行计算即可得解；
（3）根据完全平方式的变形公式整理成已知条件的形式，然后代入数据进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵（x+

1

x

）²=x²+2+

1

x2

=4，
∴x²+

1

x2

=2；

（2）∵x+y=1，
∴

1

2

x²+xy+

1

2

y²=

1

2

（x²+2xy+y²）=

1

2

（x+y）²=

1

2

；

（3）∵a+b=5，ab=6，
∴①a²+b²=（a+b）²-2ab=5²-2×6=25-12=13，
②a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²=（a²+b²）²-2（ab）²=13²-2×6²=169-72=97．

点评：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．