Question

已知，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB，AB=2，BD=1，过点D作DM⊥AD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P．
（1）求sin∠ACB的值；
（2）求MC的长；
（3）若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据AB=2，BD=1，∠B=90°，根据勾股定理得到AD的长，根据∠BAD=∠ACB得到sin∠ACB=sin∠BAD，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义就可以求出sin∠ACB的值．
（2）设MC=x，则DM=x，AM=AC-MC=2

5

-x，在Rt△ADM中，由勾股定理就可以求出CM的长．
（3）根据四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积，就可以求出t的值．

解答：解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理得到AD=

5

，
sin∠ACB=sin∠BAD=

BD

AD

=

5

5

．

（2）∵∠ADP=90°，
∴∠4+∠3=90°
又∵直角△ABD中，∠1+∠4=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴MD=MC，
设MC=x，则DM=x，AM=AC-MC=2

5

-x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得x=

3 5

4

，
∴CM=

3 5

4

．
（3）连接AP、AQ、DQ，
∵直角△CDP中，DM=CM=

3 5

4

，
则DP=2DM=

3 5

2

，
∴CP=

DP2-DC2

=

( 3 5 2 )2-32

=

3

2

，
∵四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积，
∴S_△APQ=S_△ABD+S_△CDQ，
即

1

2

（

3

2

-t）×4=

1

2

×2×1+

1

2

×3t
解得：t=

4

7

，
∴当点Q从点c向点P运动

4

7

秒时，存在四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积．

点评：本题主要考查了勾股定理，存在性问题是近年中考的热点之一．