Question

如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．

（1）填空：点C的坐标是（    ,   ），点D的坐标是（    ,    ）；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0)，（2）BM＝，（3）存在

因为△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD，所以OB=OC=1，OA=OD=2所以点C的坐标是(0，1)，点D的坐标是(－2，0) ……………… 2分
（2）方法一：由（1）可知CD＝＝，BC＝1
又∠1＝∠5，∠4＝∠3
∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分
∴＝ 即＝
∴BM＝                                          ………………2分
方法二：设直线CD的解析式为y＝kx＋b
由（1）得
解得
∴直线CD的解析式为y＝ x＋1
又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO
∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分
∴＝ 即＝
∴BM＝                                          ………………2分
方法三
∵ ∴  
∴M的坐标为(，)                                    ………………2分
过点M作ME⊥y轴于点E，则ME＝，BE＝
∴BM＝＝                             ………………2分
（3）存在                
分两种情况讨论：
① 以BM为腰时
∵BM＝，又点P在y轴上，且BP＝BM
时满足条件的点P有两个，它们是P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)…………2分
过点M作ME⊥y轴于点E，∵∠BMC＝90°，
则△BME∽△BCM
∴＝
∴BE＝＝
又∵BM＝BP
∴PE＝BE＝
∴BP＝
∴OP＝2－＝
此时满足条件的点P有一个，它是P₃ (0，)          ……………1分
② 以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，
由（2）得∠BMC＝90°，
∴PF∥CM
∵F是BM的中点，
∴BP＝BC＝
∴OP＝
此时满足条件的点P有一个，它是P₄ (0，) ……………… 1分
综上所述点P有四个：P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)、P₃ (0，) P₄ (0，)