Question

观察下面的式子：
S₁=1+

1

12

+

1

22

，S₂=1+

1

22

+

1

32

，S₃=1+

1

32

+

1

42

…S_n=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

（1）计算：

S1

=

3

2

，

S3

=

13

12

；猜想

Sn

=

n(n+1)+1

n(n+1)

（用n的代数式表示）；
（2）计算：S=

S1

+

S2

+

S3

+…+

Sn

（用n的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）分别求出S₁，S₂，…的值，再求出其算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+

1

2

+1+

1

6

+1+

1

12

+…+1+

1

n(n+1)

，再转换成n+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
即可求出答案．

解答：（1）解：∵S₁=1+

1

12

+

1

22

=

9

4

，
∴

S1

=

9 4

=

3

2

；
∵S₂=1+

1

22

+

1

32

=

49

36

，
∴

S2

=

7

6

；
∵S₃=1+

1

32

+

1

42

=

169

144

，
∴

S3

=

13

12

；
∵S_n=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=

[n2+n+1]2

n2(n+1)2

，
∴

Sn

=

n2+n+1

n(n+1)

=

n(n+1)+1

n(n+1)

，
故答案为：

3

2

，

13

12

，

n(n+1)+1

n(n+1)

；

（2）解：S=

3

2

+

7

6

+

13

12

+…+

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

2

+1+

1

6

+1+

1

12

+…+1+

1

n(n+1)

=n+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=n+1-

1

n+1

，
=

n2+2n

n+1

．

点评：本题考查了二次根式的化简，主要考学生的计算能力，题目比较好，但有一定的难度．