Question

（2012•泰顺县模拟）如图，正方形ABCD中，AB=1，BC为⊙O的直径，P是AD边上一点，BP交⊙O于点F，CF的延长线交AB于点E，连接PE．若CF=2EF，则PF的长为

3 6 -2 3

6

．

Answer 1

分析：由BC为⊙O的直径，正方形ABCD，易证得AB是⊙O的切线，由弦切角定理，可得∠ABP=∠FCB，易证得△ABP≌△BCE，△CEB∽△CBF，即可得CE=BP，

BC

CF

=

CE

BC

，又由AB=1，CF=2EF，可求得EF，CF，CE的长，然后由勾股定理可求得BF的长，继而求得答案．

解答：解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BFC=90°，
即BF⊥EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，
∴AB是⊙O的切线，
∴∠ABP=∠FCB，
在△ABP和△BCE中，
∵

∠A=∠EBC AB=BC ∠ABP=∠ECB

，
∴△ABP≌△BCE（ASA），
∴BP=EC，
∵∠EBC=∠CFB=90°，∠EBF=∠FCB，
∴△CEB∽△CBF，
∴

BC

CF

=

CE

BC

，
∵CF=2EF，
∴

1

2EF

=

3EF

1

，
∴EF=

6

6

，
∴CF=2EF=

6

3

，EC=3EF=

6

2

，
∴BP=

6

2

，
在Rt△BCF中，BF=

BC2-CF2

=

3

3

，
∴PF=BP-BF=

6

2

-

3

3

=

3 6 -2 3

6

．
故答案为：

3 6 -2 3

6

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．