Question

已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：连结OD，设⊙O的半径为R，根据AB是⊙O的直径，且CF=DF，在Rt△OFD中，根据勾股定理可得出AF的长，在Rt△ACF中，根据勾股定理可求出AC的长．

解答：解：方法一：如图1，连结OD，设⊙O的半径为R，
∵AB是⊙O的直径，且CF=DF，
∴AB⊥CD，
∵OB=R  BF=2，则OF=R-2，
在Rt△OFD中，
由勾股定理得：R²=（R-2）²+4²，解得：R=5
∴AF=8．
在Rt△ACF中
由勾股定理得：AC=

CF2+AF2

=4

5

．
方法二：连结CB，
∵AB是⊙O的直径，且CF=DF，
∴AB⊥CD，

BC

=

BD

，
∴tanA=tan∠1
∴

CF

AF

=

BF

CF

，
∴AF=8，
在Rt△ACF中
由勾股定理得：AC=4

5

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．