Question

如图，在△ABC中，BD=CD，AG平分∠DAC，BF⊥AG，垂足为H，与AD交于E，与AC交于F，过点C的直线CM交AD的延长线于M，且∠EBD=∠MCD，AC=AM．
求证：DE=

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CF．

Answer 1

分析：先证△BED和△CMD全等，推出ED=MD=

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2

EM，再证△AEH和△AFH全等，得到AE=AF，由已知AC=AM，两式相减即可得到EM=CF，进一步推出答案．

解答：证明：∵△BED和△CMD中

∠EBD=∠MCD BD=DC ∠EDB=∠MDC

∴△BED≌△CMD，
∴ED=MD=

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EM，
又AG平分∠DAC，
∴∠DAG=∠CAG，
∵BF⊥AG，
∴∠AHE=∠AHF=90°，
在△AEH和△AFH中

∠EAH=∠FAH AH=AH ∠AHE=∠AHF

∴△AEH≌△AFH，
∴AE=AF，
又∵AC=AM，
∴AC-AE=AM-AF，
∴EM=CF，
∴DE=

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CF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的角平分线和高等知识点，解此题的关键是证出EM=CF．题型较好，综合性强．