Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．

   （1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．

   （2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

               

Answer 1

解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．           

由已知，AM＝x，AN＝20－x．

        ∵　四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º，

        ∴　∠PAN＝∠D＝30º．

        在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝（20－x），

        即点N到AB的距离为（20－x）．                    

        ∵ 点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，

        ∴ x的取值范围是　0≤x≤15．                

        （2）根据（1），S_△AMN＝AM•NP＝x（20－x）＝．           

        ∵　＜0，∴　当x＝10时，S_△AMN有最大值．               

又∵　S_{五边形BCDNM}＝S_梯形－S_△AMN，且S_梯形为定值，
∴　当x＝10时，S_{五边形BCDNM}有最小值．                        

        当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN．

        则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．