Question

【题目】综合与探究：如图，二次函数经过点B（4，0）和点E（-2，-3）两点，与x轴的另一个交点为A．点D是线段BE上的动点，过点D作DF⊥BE，交y轴于点F，交抛物线于点P．

（1）求出抛物线和直线BE的解析式；

（2）当△DCF≌△BOC时，求出此时点D的坐标；

（3）设点P的横坐标为m．

①请写出线段PD的长度为（用含m的式子表示）；

②当m为何值时，线段PD有最大值，并写出其最大值为多少？

Answer 1

【答案】（1），y=x-2；（2）点D的坐标为（，）或（，）；（3）①；②当m=1时，PD有最大值为．

【解析】

（1）设直线BE的解析式为y=kx+t，把B、E坐标分别代入和y=kx+t，求出b、c、k、t的值即可得答案；

（2）根据BE解析式可得C点坐标，利用勾股定理可求出BC的长，当点F在点C上方时，由全等三角形得性质可得OC=CD，过点D作DH⊥OB，垂足为H，可得DH//OC，根据平行线分线段成比例定理可得，可求出OH的长，代入BE解析式求出y值即可得点D坐标；同理可求出当点F在点C下方时点D的坐标；

（3）①过点P作PQ//FC，交BE于Q，根据抛物线及BE解析式可用m表示出P、Q坐标，即可表示出PQ得长，根据平行线得性质可得∠OCB=∠PQD，可得∠PQD得正弦值，利用∠PQD的正弦即可表示出PD的长；

②根据二次函数得性质即可得答案．

（1）把B（4，0），E（-2，-3）代入抛物线的解析式得：，

解得b=，c=2．

∴抛物线的解析式为，

设直线BE的解析式为y=kx+t，

∵B（4，0），E（-2，-3），

∴，

解得k=，b=-2．

∴直线BE的解析式为y=x-2．

（2）当x=0时，y=x-2=-2．

∴C的坐标是（0，-2）

如图，当点F在点C上方时，

∵△DCF≌△OCB，

∴CD=OC=2．

∴BC=，

过点D作DH⊥OB，垂足为H．

∴DH//OC，

∴．

∴．

∴OH=．

把x=代入y=x-2得，y=．

∴点D的坐标为（，）．

如图，当点F在点C下方时，

∵△DCF≌△OCB，

∴CD=OC=2．

过点D作DH⊥OF，垂足为H．

∴DH//OC，

∴．

∴．

∴DH=

把x=代入y=x-2得，y=．

∴点D的坐标为（，）．

（3）①如图，过点P作PQ//FC，交BE于Q，

∴∠OCB=∠PQD，

∵sin∠PQD=sin∠OCB==，

∵点P横坐标为m，

∴P（m，），Q（m，），

∴PQ=-（）=，

∴PD=PQ·sin∠PQD=（）=．

②∵PD==（m-1）2+，

∴当m=1时，PD有最大值．