Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE．其中正确结论有（　　）个．

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

Answer 1

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析：

通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S_△CEF和2S_△ABE再通过比较大小就可以得出结论

解答：

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等边三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，①正确．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°②正确，

∵BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，

及CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．③正确．

设EC=x，由勾股定理，得

EF=x，CG=x，AG=x，

∴AC=，

∴AB=，

∴BE=﹣x=，

∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，

∵S_△CEF=，

S_△ABE==，

∴2S_△ABE==S_△CEF，⑤正确．

综上所述，正确的有4个，故选C．

点评：

本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．