Question

如图，菱形ABCD的顶点A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=

2

3

x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=

5

2

上．
（1）求抛物线对应的函数关系式，并说明此抛物线一定过点C、D；
（2）若M点是该抛物线上位于C、D之间的一动点，求△CDM面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）把二次函数的解析式化为顶点式y=a（x-h）²+m，因为顶点在直线x=

5

2

上，所以h=

5

2

，然后再把点B的坐标代入其中求出m的值即可得到二次函数的解析式．再利用A和B的坐标得出线段OA，OB的长，利用勾股定理求出AB，又四边形为菱形得出它的四条边长，从而得出点C和点D的坐标，分别把两点的横坐标代入二次函数的解析式中求出y的值，从而判断出抛物线一定过点C、D．
（2）先利用点C和点D的坐标求出直线CD的解析式，设出M的横坐标为t，因为MN∥y轴，所以N的横坐标也为t，分别把两点的横坐标代入到抛物线和直线CD的解析式中表示出它们的纵坐标，让其纵坐标相减即可得到MN的长l与t的二次函数关系式，求出t=-

b

2a

=

7

2

时MN有最大值为

3

2

，然后把MN当作三角形CMN和三角形DMN的公共底，分别表示出三角形CMN和三角形DMN的面积，两三角形面积相加即为三角形CDM的面积，因为三角形CMN和三角形DMN的高之和为定值，所以当三角形的底MN取最大值时三角形CDM的面积最大．

解答：解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y=

2

3

(x-

5

2

)2+m，
∴4=

2

3

×(-

5

2

)2+m，
∴m=-

1

6

，（2分）
∴所求函数关系式为：y=

2

3

(x-

5

2

)2-

1

6

=

2

3

x2-

10

3

x+4，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．
当x=5时，y=

2

3

×52-

10

3

×5+4=4，
当x=2时，y=

2

3

×22-

10

3

×2+4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上；

（2）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则

5k+b=4 2k+b=0

，
解得：k=

4

3

，b=-

8

3

．
∴y=

4

3

x-

8

3

，（6分）
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t．
则yM=

2

3

t2-

10

3

t+4，yN=

4

3

t-

8

3

，
∴l=yN-yM=

4

3

t-

8

3

-(

2

3

t2-

10

3

t+4)=-

2

3

t2+

14

3

t-

20

3

=-

2

3

(t-

7

2

)2+

3

2

，
∵-

2

3

＜0，
∴当t=

7

2

时，l最大=

3

2

，

S△CDM=S△MND+S△MNC= 1 2 MN•h1+ 1 2 MN•h2= 1 2 MN•(h1+h2) ∴S△CDM最大= 1 2 × 3 2 ×(5-2)= 9 4

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有菱形的性质和三角形的面积求法．本题的难点是第二问，学生要弄懂△CDM面积的最大值满足的条件．