Question

如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形AOBC，M为OB的中点，将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O′处，连接OO′，过O′点作O′N⊥OB于N．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）判断△AOM与△ONO′是否相似，若是，请给出证明；
（3）求O′点的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为正方形的四边都相等，所以A，B，C点的坐标结合图很好写出；
（2）△AOM∽△ONN′，由于△AOM和△AOM’关于AM对称，故有OO′⊥AM．再根据同角的余角相等，可得∠1=∠2，再加上一对直角，那么两个三角形相似．
（3）先利用勾股定理求出AM，即是OO’，再利用相似比可求出ON，O’N的值，故可求出O’的坐标．

解答：解：（1）∵OA=OB=2，
∴A（0，2）、B（2，0）、C（2，2）．（3分）

（2）△AOM∽△ONO’（4分）
证明：∵四边形AOBC是正方形，
∴∠AOM=90°．
又O’N⊥OB，
∴∠ONO'=90°．
∴∠AOM=∠ONO’=90°．
又根据对称性质可知：
AM⊥OO’于D点，
∴在Rt△ODM中，∠1+∠3=90°．
在Rt△AOM中，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∴△AOM∽△ONO’（6分）

（3）∵M是OB的中点，
∴OM=

1

2

•OB=1．
∴在Rt△AOM中，AM=

OA2+OM2

=

22+12

=

5

．
又∵OD是Rt△AOM斜边上的高，
∴OD=

OM•OA

AM

=

1×2

5

=

2

5

=

2 5

5

．
∴OO′=2-OD=2×

2 5

5

=

4 5

5

．（8分）
又∵△AOM∽△ONO’，
∴

AO

ON

=

OM

NO′

=

AM

OO′

．

2

ON

=

1

NO′

=

5

4 5 5

=

5

4

．
∴ON=

8

5

，NO′=

4

5

．
∴O′(

8

5

，

4

5

)．（10分）

点评：本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．