Question

已知二次函数与x轴交于A（1,0）、B（3,0）两点；二次函数的顶点为P.
（1）请直接写出：b=_______，c=___________；
（2）当∠APB=90°，求实数k的值;
（3）若直线与抛物线L₂交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不发生变化，请求出EF的长度；如果发生变化，请说明理由.

Answer 1

（1）8，；（2）；（3）线段EF的长度不变化，8.

试题分析：（1）将A（1,0）、B（3,0）代入得.
（2）确定二抛物线的对称轴重合，从而得到△APB为等腰直角三角形，且点P为直角顶点，一方面根据等腰直角三角形求得到，另一方面根据点P为的顶点得到，二者联立求解即可.
（3）联立直线和抛物线的解析式，求出E、F两点的坐标，然后判断EF是否为定值．
（1）8， .
（2）∵在二次函数中，对称轴为；在二次函数中，对称轴为，
∴点P也在的对称轴上.
∴AP=BP.
∵∠APB=90°
∴△APB为等腰直角三角形，且点P为直角顶点.
∴，解得.
∵点P为的顶点，
∴.
∴，解得.
（3）判断：线段EF的长度不变化.
由题意得，
解得 ，
∴EF=.
∴线段EF的长度不变化.