Question

如图在等边△ABC中，P是BC边上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=3，CD=2，则△CPD，△BAP，△APD的面积比为

4：9：14

．

Answer 1

分析：根据题意可得：设△ABC的边长为x，易得：△ABP∽△CPD；可得比例式

BP

DC

=

AB

PC

解得△ABC的边长为，又因为△APD和△DPC高相同，所以面积比等于对应底之比，进而三个三角形的面积比求出．

解答：解：设△ABC的边长为x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCP=∠PBA=60°
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠BAP+∠ABP，
∵∠APD=60°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△CPD，
∴

BP

DC

=

AB

PC

，
∴

3

2

=

x

x-3

，
∴x=9．
即△ABC的边长为9．
∴AD=AC-CD=9-2=7，
∵△PDC和△APD高相等，
∴S△PDC：S△APD=2：7，
∵△ABP和△ABC高相等，
∴S△ABP：S△ABC=3：9=1：3；
∴S△APC=

2

3

S△ABC，
∴SPDC=

2

3

×

2

9

S△ABC，S△APD=

2

3

×

7

9

S△ABC，
∴△CPD，△BAP，△APD的面积比为：

4

27

：

1

3

：

14

27

=4：9：14．
故答案为：4：9：14．

点评：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是求出等边三角形的边长，在高相等的情况下利用三角形的面积比等于对于底边的．