题目内容
如图，已知AB是⊙0的直径，AC切⊙O于点A，连接CO并延长交⊙0于点D、E，连接BD并延长交边AC于点F．（1）求证：AD•AC=DC•EA；
（2）若AC=nAB（n∈N），求tan∠CDF的值．
分析：（1）连接AD、AE证明△ADC∽△EAC，根据相似三角形的性质就可以得出
=
，从而得出结论．
（2）如图，由条件可以得出∠CDF=∠1=∠2=∠E，进而可以得出tan∠CDF=tan∠E，由圆的切线定理可以得出AC2=CD．EC，通过等量代换可以求出和式子变形就可以求出tan∠CDF的值．
| AD |
| DC |
| AE |
| AC |
（2）如图，由条件可以得出∠CDF=∠1=∠2=∠E，进而可以得出tan∠CDF=tan∠E，由圆的切线定理可以得出AC2=CD．EC，通过等量代换可以求出和式子变形就可以求出tan∠CDF的值．
解答：
解：（1）连接AD、AE，
∵AC切⊙O于点A，
∴∠DAC=∠DEA，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△EAC，
∴
=
，
∴AD•AC=DC•EA；
（2）∵∠CDF=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠CDF，
∵∠E=∠2，
∴∠E=∠CDF，
∴tan∠CDF=tan∠E．
∵tan∠E=
，
∴tan∠CDF=
．
∵
=
，
∴
=
，
∴tan∠CDF=
．
∵AC切⊙O于点A，
∴AC2=CD．EC，
∴AC2=CD（CD+AB）．
∵AC=nAB，
∴n2AB2=CD（CD+AB），
∴DC2+AB．DC-n2AB2=0，
∴DC=
•AB，
∴
=
．
∵
＞0，
∴tan∠CDF=
=
=
．
解：（1）连接AD、AE，∵AC切⊙O于点A，
∴∠DAC=∠DEA，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△EAC，
∴
| AD |
| DC |
| AE |
| AC |
∴AD•AC=DC•EA；
（2）∵∠CDF=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠CDF，
∵∠E=∠2，
∴∠E=∠CDF，
∴tan∠CDF=tan∠E．
∵tan∠E=
| AD |
| AE |
∴tan∠CDF=
| AD |
| AE |
∵
| AD |
| DC |
| AE |
| AC |
∴
| AD |
| AE |
| DC |
| AC |
∴tan∠CDF=
| DC |
| AC |
∵AC切⊙O于点A，
∴AC2=CD．EC，
∴AC2=CD（CD+AB）．
∵AC=nAB，
∴n2AB2=CD（CD+AB），
∴DC2+AB．DC-n2AB2=0，
∴DC=
-1±
| ||
| 2 |
∴
| DC |
| AB |
-1±
| ||
| 2 |
∵
| DC |
| AB |
∴tan∠CDF=
| DC |
| AC |
| DC |
| nAB |
-1+
| ||
| 2n |
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质，圆周角定理，切割线定理，切线的性质，锐角三角函数的定义，求根公式的运用．
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