Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x-m=0，
（1）若方程有一个根是

2

+1，求m的值及另一个根；
（2）结论“无论m取任何实数值时，原方程总有两个不相等的实数根”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举一个反例说明．

Answer 1

分析：（1）先把方程的根代入原方程即可求出m的值，再设出方程的另一个根，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出另一个根；
（2）根据方程的判别式解答，只要证明方程的判别式的值大于0即可．

解答：解：（1）∵方程有一个根是

2

+1，
∴（

2

+1）²-2（

2

+1）-m=0，
∴m=1，
∴原方程可化为x²-2x-1=0，
设方程的另一根为x，则x+

2

+1=2，
∴x=1-

2

；
（2）∵△=b²-4ac=（-2）²+4m=4+4m，
∵m的取值范围不能确定，
∴无论m取任何实数值时，原方程总有两个不相等的实数根错误．
例如：当m=-1时，4+4m=4-4=0，此时方程有两个相等的实数根．

点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，有一定的综合性，但难度适中．