Question

【题目】如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．

求证：；

当点在上运动到何处时，四边形为矩形？请说明理由；

当点在上运动时，四边形能为菱形吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析；（3）不可能，理由见解析

【解析】

（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得OE=OC，同理可证OC=OF，则可证得OE=OF=OC；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而分析求出即可．

证明：∵是的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

同理可证，

∴；解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形．

理由是：当为的中点时，，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵平分，平分，

∴，

∴平行四边形是矩形．解：不可能．

理由如下：如图，连接，

∵平分，平分，

∴，

若四边形是菱形，则，

但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形．