Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点是轴正半轴上一点，且，点是轴上位于点右侧的一个动点，设点的坐标为.

（1）点的坐标为___________；

（2）当是等腰三角形时，求点的坐标；

（3）如图2，过点作交线段于点，连接，若点关于直线的对称点为，当点恰好落在直线上时，_____________.（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）

【解析】

（1）根据勾股定理可以求出AO的长，则可得出A的坐标；

（2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P的坐标；

（3）根据，点在直线上，得到，利用点，关于直线对称点，根据对称性，可证，可得，，

设，则有，根据勾股定理，有：

解之即可．

解：（1）∵点坐标为，点是轴正半轴上一点，且，

∴是直角三角形，根据勾股定理有：

，

∴点的坐标为；

（2）∵是等腰三角形，

当时，如图一所示：

∴，

∴点的坐标是；

当时，如图二所示：

∴

∴点的坐标是；

当时，如图三所示：

设，则有

∴根据勾股定理有：

即：

解之得：

∴点的坐标是；

（3）当是钝角三角形时，点不存在；

当是锐角三角形时，如图四示：

连接，

∵，点在直线上，

∴和是直角三角形，

∴，

∵点，关于直线对称点，

根据对称性，有，

∴，

∴

则有：

∴是等腰三角形，则有，

∴，

设，则有，

根据勾股定理，有：

即：

解之得：