Question

（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），

∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），

∴，

解得：b=﹣2，c=﹣3；

 

（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），

∴直线AB的解析式为：y=x+1，

∵二次函数y=x²﹣2x﹣3，

∴设点E（t，t+1），则F（t，t²﹣2t﹣3），

∴EF=（t+1）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）²+，

∴当t=时，EF的最大值为，

∴点E的坐标为（，）；

 

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）

S_{四边形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；

②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²﹣2m﹣3）

则有：m²﹣2m﹣2=，

解得：m₁=，m₂=，

∴P₁（，），P₂（，），

 

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²﹣2n﹣3）

则有：n²﹣2n﹣2=﹣，

解得：n₁=，n₂=（与点F重合，舍去），

∴P₃（，），

综上所述：所有点P的坐标：P₁（，），P₂（，），P₃（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．

【关键